a) Xét $∆CAH$ và $∆CEH$ có:
$AC = CE\quad (gt)$
$\widehat{ACH}=\widehat{ECH}=\dfrac12\widehat{ACB}\quad(gt)$
$CH$ cạnh chung
Do đó $∆CAH=∆CEH\, (c.g.c)$
$\to \widehat{CEH}=\widehat{CAH}=90^\circ$ (hai góc tương ứng)
$\to HE\perp CE$
$\to HE\perp BC$
b) Ta có:
$∆CAH=∆CEH$ (câu a)
$\to \begin{cases}HA = HE\quad \text{(hai cạnh tương ứng)}\\\widehat{AHC}=\widehat{EHC}\quad \text{(hai góc tương ứng)}\\\to \widehat{AHI}=\widehat{EHI}\end{cases}$
Xét $∆HAI$ và $∆HEI$ có:
$AH = HE\quad (cmt)$
$\widehat{AHI}=\widehat{EHI}\quad (cmt)$
$HI$ cạnh chung
Do đó $∆HAI =∆HEI\, (c.g.c)$
$\to \widehat{HAI}=\widehat{HEI}$ (hai góc tương ứng)
c) Gọi $D$ là giao điểm của $AI$ và $BC$
Xét $∆IAC$ và $∆IEC$ có:
$AC = CE\quad (gt)$
$\widehat{ACH}=\widehat{ECH}=\dfrac12\widehat{ACB}\quad(gt)$
$IC$ cạnh chung
Do đó $∆IAC=∆IEC\, (c.g.c)$
$\to \widehat{IAC}=\widehat{IEC}$ (hai góc tương ứng)
$\to \widehat{DAC}=\widehat{KEC}$
Ta lại có:
$\widehat{KEC}+\widehat{KCE}=90^\circ\quad (∆KCE$ vuông tại $E)$
hay $\widehat{KEC}+\widehat{ACD}=90^\circ$
$\to \widehat{DAC} +\widehat{ACD}=90^\circ$
$\to \widehat{ADC}=90^\circ$
$\to HD\perp CD$
$\to AI\perp BC$
mà $HE\perp BC$ (câu a)
nên $HE//AI$
Ta có:
$\widehat{AIE}=\widehat{IDE} +\widehat{DEI}$ (góc ngoài của $∆DEI$)
$\to \widehat{AIE} -\widehat{DEI}=\widehat{IDE}=90^\circ$
Lại có:
$\widehat{DEI}=\widehat{ABC}$ (đồng vị)
nên $\widehat{AIE} -\widehat{ABC}=90^\circ$
