Lời giải:
a) Xét $\triangle AMK$ và $\triangle AMH$ có:
$\begin{cases}\widehat{K}=\widehat{H}=90^\circ\\\widehat{KAM}=\widehat{HAM}=\dfrac12\widehat{HAC}\quad (gt)\\AM:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$
Do đó: $\triangle AMK=\triangle AMH$ (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Xét $\triangle AQC$ có:
$CH\perp AQ\quad (CH\perp AH)$
$QK\perp AC\quad (MK\perp AC)$
$CH$ cắt $QK$ tại $M$
$\Rightarrow M$ là trực tâm $\triangle AQC$
$\Rightarrow AM\perp QC\qquad (1)$
Ta có:
$\triangle AMK=\triangle AMH$ (câu a)
$\Rightarrow \begin{cases}AK = AH\\MK = MH\end{cases}$ (Hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow AM$ là trung trực của $HK$
$\Rightarrow AM\perp HK\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow HK//QC\quad (\perp AM)$
c) Ta có: $M$ nằm giữa $H$ và $C$
$\Rightarrow MC < HC$
Mặt khác, trong $\triangle HQC$ vuông tại $H$ luôn có:
$HC < QC$ (cạnh góc vuông < cạnh huyền)
Do đó: $MC < QC$
d) Ta có:
$MI//AC\quad (gt)$
mà $AC\perp AB\quad (gt)$
nên $MI\perp AB$
Xét $\triangle ABM$ có:
$MI\perp AB\quad (cmt)$
$AH\perp BM\quad (AH\perp BC)$
$MI$ cắt $AH$ tại $I$
$\Rightarrow I$ là trực tâm $\triangle ABM$
$\Rightarrow BI\perp AM$
mà $QC\perp AM$ (câu b)
nên $BI//QC$
