a) $\widehat{CAE}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}$
$\widehat{CEA}=\widehat{B}+\widehat{A_3}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)
Mà $\widehat{A_2}=\widehat{A_3}$ (do $AE$ là phân giác $\widehat{HAB}$)
$\widehat{A_1}=\widehat{B}$ (giả thiết)
$\Rightarrow \widehat{CAE}=\widehat{CEA}$
$\Rightarrow \Delta ACE$ cân đỉnh $C$
b) Gọi $Cx$ là tia đối của tia CA
Xét $\Delta CAH$ và $\Delta CBA$ có:
$\widehat C$ chung
$\widehat{A_1}=\widehat B$ (giả thiết)
$\Rightarrow \Delta CAH\sim\Delta CBA$ (g.g)
$\Rightarrow \dfrac{CH}{CA}=\dfrac{AH}{BA}$ (1)
Áp dụng tính chất đường phân giác vào $\Delta HAB$ ta có:
$\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{HE}{EB}$ (2)
Áp dụng định lý Menelaus vào $\Delta HAB$ các điểm $M, E, F$ có:
$\dfrac{MB}{MA}.\dfrac{FA}{FH}.\dfrac{EH}{EB}=1$
$\Rightarrow \dfrac{EH}{EB}=\dfrac{FH}{FA}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{FH}{FA}$
Tam giác $AHC$ có: $\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{FH}{FA}$ theo tính chất đường phân giác ngoài ta có:
$CF$ là phân giác ngoài của $\widehat{ACH}$
$\Rightarrow \widehat{xCF}=\widehat{BCF}=\dfrac{1}{2}\widehat{BCx}$
Áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác:
$\Delta ABC$ có: $\widehat{BCx}=\widehat{A}+\widehat B$
$\Rightarrow \widehat{xCF}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat B)=\dfrac{\widehat{A_1}+2\widehat{A_1}+\widehat{A_1}}{2}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{CAE}$
ta được $\widehat{xCF}=\widehat{CAE}$ mà chúng ở vị trí đồng vị
nên $CF\parallel AE$ (đpcm).
