Đáp án: $15^o$
Giải thích các bước giải:
Gọi $FM\perp BC=M, F\in AC$
Vì $M$ là trung điểm $BC\to FM$ là trung trực của $BC$
$\to FB=FC$
$\to \Delta FBC$ cân tại $F\to \widehat{FBC}=\widehat{FCB}=15^o$
$\to \widehat{FBA}=\widehat{ABC}-\widehat{FBC}=15^o$
$\to \widehat{ABF}=\widehat{FCD}$
Mà $CD=AB, CF=FB$
$\to \Delta ABF=\Delta DCF(c.g.c)$
$\to \widehat{FDC}=\widehat{BAF}$
$\to ABDF$ nội tiếp
$\to \widehat{FAD}=\widehat{FBD}=15^o$
$\to\widehat{FAD}=\widehat{DCA}$
$\to \Delta DAC$ cân tại $D$
$\to DA=DC=AB$
Ta có $\widehat{ABF}=\widehat{FBC}\to BF$ là phân giác $\widehat{ABC}$
$\to\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{BC}{BA}$
Ta có : $\widehat{BAC}=135^o$
Theo định lý sin ta có:
$\dfrac{BC}{\sin135^o}=\dfrac{AC}{\sin30^o}$
$\to BC\sqrt{2}=2AC$
$\to BC=AC\sqrt{2}$
$\to BC^2=2AC^2$
$\to \dfrac12BC\cdot BC=AC^2$
$\to AC^2=CM.CB$
$\to \dfrac{CA}{CM}=\dfrac{CB}{CA}$
$\to\Delta CMA\sim\Delta CAB(c.g.c)$
$\to \widehat{CAM}=\widehat{CBA}=30^o$
$\to \widehat{MAD}=\widehat{MAC}-\widehat{DAC}=15^o$
