Gọi $D,E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $A,B,C$ đến $BC,AC,AB$
Kẻ $CJ//BE$ cắt tia AD tại $J$ , $CI//AD$ cắt tia BE tại $I$. Lúc này ta được $HICJ$ là hình bình hành
$\vec{HC}=\vec{HC}+\vec{HJ}(1)$
Vì $HD//IC$ nên theo định lý Thales ta được
$\dfrac{IH}{HB}=\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{\dfrac{AD}{BD}}{\frac{AD}{DC}}=\dfrac{\tan B}{\tan C}$
$\Rightarrow HI=\dfrac{\tan B}{\tan C}HB$
$\Rightarrow \vec{HI}=-\dfrac{\tan B}{\tan C}\vec{HB}$
Chứng minh tương tự ta được $\vec{HJ}=-\dfrac{\tan A}{\tan C}.\vec{HA}$
Thế vào (1) ta được $\tan A \vec{HA}+\tan B\vec{HB}+\tan C\vec{HC}=\vec{0}$
