Đáp án:
`|\vec{AB}+\vec{AH}|={a\sqrt{13}}/2`
Giải thích các bước giải:
$∆ABC$ đều cạnh $a$; đường cao $AH$
`=>AB=BC=a;\hat{ABH}=\hat{ABC}=60°`
`\qquad AH` cũng là đường trung tuyến $∆ABC$
`=>H` là trung điểm $BC$
`=>BH={BC}/2=a/2`
$\\$
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$
`=>sin\hat{ABH}=sin60°={AH}/{AB}`
`=>AH=ABsin60°={a\sqrt{3}}/2`
$\\$
Gọi $I$ là trung điểm $BH$
`=>IH={BH}/2={a/2}/2=a/4`
Xét $∆AHI$ vuông tại $H$
`=>AI^2=AH^2+IH^2` (định lý Pytago)
`=({a\sqrt{3}}/2)^2+(a/4)^2`
`={3a^2}/4+{a^2}/{16}={13}/{16}a^2`
`=>AI=\sqrt{{13}/{16a^2}}={a\sqrt{13}}/4`
$\\$
Áp dụng quy tắc trung điểm ta có:
`\qquad |\vec{AB}+\vec{AH}|=|2\vec{AI}|`
`=2AI=2. {a\sqrt{13}}/4={a\sqrt{13}}/2`
Vậy: `|\vec{AB}+\vec{AH}|={a\sqrt{13}}/2`
