Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ có bán kính $R$
Gọi $M$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ có bán kính $r$
Từ $O$ kẻ $OF\bot AB, OE\bot AC,OD\bot BC$
Từ $M$ kẻ $MF_1\bot AB, ME_1\bot AC,MD_1\bot BC$
Đặt: $(OF;OE;OD)=(z;y;x)(z,y,x>0)$
Và $(AB;BC;AC)=(c; a;b)(a,b,c>0)$
Áp dụng định lí Ptoleme cho tứ giác $AFOE$ ta được:
$OA.EF=OE.AF+OF.AE\to R.\dfrac{1}{2}a=y.\dfrac{1}{2}c+z.\dfrac{1}{2}b\\\to Ra=cy+bz$
Tương tự: $Rb=az+cx, Rc=ay+bx$
$\to R(a+b+c)=a(y+z)+b(x+z)+c(x+y)$
$S_{ABC}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{AOC}=\dfrac{1}{2}(ax+by+cz)\\S_{ABC}=S_{AMB}+S_{BMC}+S_{AMC}=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)\\\to r(a+b+c)=ax+by+cz\\\to (a+b+c)(R+r)=(a+b+c)(x+y+z)\\\to R+r=x+y+z$
Do $\Delta ABC$ đều nên $x=y=z$ và dễ dàng tính $x=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$
$\to R+r=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}.3=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$
