Giải thích các bước giải:
a.Ta có $MD$ là phân giác $\widehat{AMB}$
$\to\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{MA}{MB}$
Lại có $ME$ là phân giác $\widehat{AMC}$
$\to\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{MA}{MC}$
Mà $M$ là trung diểm $BC\to MB=MC\to\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MA}{MC}$
$\to \dfrac{DA}{DB}=\dfrac{EA}{EC}$
$\to DE//BC$
b.Ta có $\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MA}{\dfrac12BC}=\dfrac{2MA}{BC}$
$\to\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{2m}{a}$
$\to\dfrac{DA}{DA+DB}=\dfrac{2m}{2m+a}$
$\to\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2m}{2m+a}$
Mà $DE//BC$
$\to \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$
$\to \dfrac{DE}{a}=\dfrac{2m}{2m+a}$
$\to DE=\dfrac{2am}{2m+a}$
c.Ta có $BC$ cố định $\to M$ là trung điểm $BC$ cố định
Mà $AM$ không đổi
$\to \dfrac{IM}{IA}=\dfrac{DB}{DA}=\dfrac{MB}{MA}$
$\to \dfrac{IM}{IM+IA}=\dfrac{MB}{MB+MA}$
$\to\dfrac{IM}{AM}=\dfrac{\dfrac12BC}{\dfrac12BC+MA}$
$\to IM=\dfrac{\dfrac12AM.BC}{\dfrac12BC+AM}$ không đổi
$\to I\in (M, \dfrac{\dfrac12AM.BC}{\dfrac12BC+AM})$ cố định
d.Để $DE$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\to D$ là trung điểm $AB$ vì $DE//CB$
$\to \dfrac{DA}{DB}=1\to \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{DA}{DB}=1$
$\to MA=MB$
$\to MA=MB=MC$
$\to\Delta ABC$ vuông tại $A$
