Từ $M$ kẻ $MN//BD \, (N\in AC)$
Ta lại có: $BM=MC$$\Rightarrow NC = ND$
Ta có: $DI//MN \, (BD//MN)$ và $AI = IM \, (gt)$$\Rightarrow AD = DN$
Do đó ta được:$AD = DN = NC = \dfrac{1}{3}AC$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $A$, ta được: $BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Rightarrow AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \, cm$$\Rightarrow AD = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{1}{3}.12= 4\, cm$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔADB$ vuông tại $A$, ta được:
$BD^2 = AD^2 + AB^2 = 4^2 + 5^2 = 41$$\Rightarrow BD = \sqrt{41} \, cm$
Theo tính chất đường trung bình, ta có:
$MN = \dfrac{1}{2}BD$
$BI = \dfrac{1}{2}MN$$\Rightarrow BI= \dfrac{1}{4}BD$ $\Rightarrow BI = BD - DI = \dfrac{3}{4}BD = \dfrac{3\sqrt{41}}{4} \, cm$
