Nếu O là điểm nằm trong ∆ABC
Kẻ OH⊥AB,OK⊥BC,OI⊥ACOH⊥AB,OK⊥BC,OI⊥AC
Vì điểm O cách đều các đường thẳng AB, BC, CA.
⇒⇒ OH = OK = OI
OH = OK ⇒⇒ O nằm trên tia phân giác ˆABC
OI = OK ⇒⇒ O nằm trên tia phân giác ˆACB^
Vậy O là giao điểm các đường phân giác của ∆ABC.
Nếu O’ nằm ngoài ∆ABC
Kẻ O′D⊥AB,O′E⊥BC,O′F⊥ACO′D⊥AB,O′E⊥BC,O′F⊥AC
⇒⇒ O'D = O'E = O'F
O'D = O'F ⇒⇒ O nằm trên tia phân giác ˆBAC
O’D = O’E⇒⇒ O’ nằm trên tia phân giác ˆDBC
⇒⇒ O’ là giao điểm phân giác trong của ˆBAC và phân giác ngoài tại đỉnh B và C. nên A, O, O’ thẳng; A, H, D thẳng hàng.
Ta có: OH < O’D
Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong của ∆ABC cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA và khoảng cách này là ngắn nhất.
