Đáp án:
a) Tọa độ của C là nghiệm của hpt:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x + y - 2 = 0\\
x + 3y - 3 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 2\\
x + 3y = 3
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5y = 4\\
x = 3 - 3y
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{4}{5}\\
x = \frac{3}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)
\end{array}$
Đưởng thẳng qua M và song song với BC là: x+3y-2=0
Giao điểm của nó và AC là N chính là trung điểm của AC
$\begin{array}{l}
\Rightarrow N\left( {\frac{4}{5};\frac{2}{5}} \right)\\
\Rightarrow A\left( {1;0} \right)
\end{array}$
=> $ \Rightarrow B\left( {3; - 1} \right)$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow AB:y = - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\\
\Rightarrow CH:y = 2x + b\\
C \in CH \Rightarrow \frac{4}{5} = 2.\frac{3}{5} + b \Rightarrow b = - \frac{2}{5}\\
\Rightarrow CH:y = 2x - \frac{2}{5}
\end{array}$
b)
$\begin{array}{l}
H:\left\{ \begin{array}{l}
y = 2x - \frac{2}{5}\\
y = - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{9}{{25}}\\
y = \frac{8}{{25}}
\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{9}{{25}};\frac{8}{{25}}} \right)\\
\Rightarrow CH = \frac{{6\sqrt 5 }}{{25}}\\
AB = \sqrt 5 \\
\Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.CH.AB = \frac{3}{5}
\end{array}$
