Xét $ΔAME$ có:
$AI = IM \, (gt)$
$ID//ME \, (ME//BD)$
$\Rightarrow AD = DE$ (Định lý 1) $(1)$
Xét $ΔBDC$ có:
$BM = MC \, (gt)$
$BD//ME \, (gt)$
$\Rightarrow DE = EC$ (Định lý 1) $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow AD = DE = EC$
Ta có: $AD = AE \, (cmt)$
$AI = IM \,(gt)$
$\Rightarrow ID$ là đường trung bình (Định nghĩa)
$\Rightarrow ID = \dfrac{1}{2}ME$ (Định lý 2)
Tương tự, ta có:
$DE = EC \, (cmt)$
$BM = MC \, (gt)$
$\Rightarrow ME$ là đường trung bình (Định nghĩa)
$\Rightarrow ME = \dfrac{1}{2}BD$ (Định lý 2)
Do đó ta được:
$ID = \dfrac{1}{2}ME = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{4}BD$
Vậy $ID = \dfrac{1}{4}BD$
