Giải thích các bước giải:
a.Trên tia đối của tia $IC$ lấy điểm $E$ sao cho $IC=IE$
Xét $\Delta IAE, \Delta IMC$ có:
$IE=IC$
$\widehat{AIE}=\widehat{MIC}$ (đối đỉnh)
$IA=IM$ vì $I$ là trung điểm $AM$
$\to\Delta IAE=\Delta MIC(c.g.c)$
$\to AE=CM, \widehat{IAE}=\widehat{IMC}\to AE//MC\to AE//BC$
Gọi $ME\cap AB=F$
Vì $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC=AE$
Xét $\Delta AFE,\Delta BFM$ có:
$\widehat{FEA}=\widehat{FMB}$ vì $AE//BC$
$AE=BM$
$\widehat{IAE}=\widehat{IBM}$
$\to \Delta AFE=\Delta BFM(g.c.g)$
$\to FA=FB$
$\to F$ là trung điểm $AB$
Xét $\Delta AEM$ có $I,F$ là trung điểm $AM, EM, EI\cap FA=D$
$\to D$ là trọng tâm $\Delta AEM$
$\to AD=\dfrac23AF$
Lại có $F$ là trung điểm $AB\to AB=2AF$
$\to AD=\dfrac13AB$
$\to AD-\dfrac13AD=\dfrac13AB-\dfrac13AD=\dfrac13(AB-AD)=\dfrac13DB$
$\to \dfrac23AD=\dfrac13DB$
$\to AD=\dfrac12BD$
b.Ta có $D$ là trọng tâm $\Delta AME$
$\to DI=\dfrac13IE=\dfrac13IC$
$\to DI+\dfrac13ID=\dfrac13IC+\dfrac13ID$
$\to \dfrac43ID=\dfrac13(IC+ID)$
$\to \dfrac43ID=\dfrac13CD$
$\to ID=\dfrac14CD$
