`a)` Trên tia đối của tia $IC$ lấy $N$ sao cho $IN=IC$
+) Xét $∆AIN$ và $∆MIC$ có:
`AI=MI` (vì $I$ là trung điểm $AM$)
`\hat{AIN}=\hat{MIC}` (hai góc đối đỉnh)
`IN=IC`
`=>∆AIN=∆MIC(c-g-c)`
`=>AN=MC` (hai cạnh tương ứng)
Mà `BM=MC` (vì $M$ là trung điểm $BC$)
`=>AN=BM`
`\qquad \hat{ANI}=\hat{MCI}` (hai góc tương ứng)
Mà `\hat{ANI}` và `\hat{MCI}` ở vị trí so le trong
`=>AN`//$BC$
$\\$
Gọi $E$ là giao điểm của $AB$ và $MN$
+) Xét $∆ANE$ và $∆BME$ có:
`\hat{ANE}=\hat{BME}` (hai góc so le trong do $AE$//$BC$)
`AN=BM` (c/m trên)
`\hat{NAE}=\hat{MBE}` (hai góc so le trong do $AE$//$BC$)
`=>∆ANE=∆BME(g-c-g)`
`=>AE=BE` (hai cạnh tương ứng)
`\qquad NE=ME` (hai cạnh tương ứng)
Mà $E$ nằm giữa $M$ và $N$
`=>E` là trung điểm $MN$
+) Xét $∆AMN$ có:
$AE;NI$ là trung tuyến
$AE$ cắt $NI$ tại $D$
`=>D` là trọng tâm $∆AMN$
`=>AD=2/ 3 AE`
Mà `AE=BE; E` nằm giữa $A$ và $B$
`=>E` là trung điểm $AB$
`=>AE=1/ 2 AB`
`=>AD=2/ 3 AE= 2/ 3 . 1/ 2 AB= 1/ 3 AB` $(1)$
Ta có: `AD+BD=AB`
`=>BD=AB-AD=AB- 1/ 3 AB=2/ 3 AB` $(2)$
Từ `(1);(2)=>AD=1/ 2 BD` (đpcm)
$\\$
`b)` Ta có: $D$ là trọng tâm $∆AMN$ (câu a)
`=>IN=3ID`
Mà `IN=IC` (câu a)
`=>IC=3ID`
`=>IC+ID=3ID+ID`
`=>CD=4ID`
`=>ID=1/ 4 CD` (đpcm)
