Giải:
Nối `MN`.
Xét 2 tam giác `MGN` và tam giác `NGC`, lấy `GN` làm đáy chung thì đường cao lần lượt của 2 tam giác là `MH` và `CK`. (*)
Mà `MH` và `CK` cũng là 2 đường cao của tam giác `MBN` và `NBC` (1)
+) Xét tam giác `MBN` và tam giác `ABN`, ta có:
Cùng chiều cao hạ từ `N` xuống `AB` ; `BM = 1/2 xx AB`
nên suy ra: `S_{MBN} = 1/2 xx S_{ABN}`
Tương tự, suy ra `S_{ABN} = 1/2 xx S_{ABC}`
Do đó, `S_{MBN} = 1/2 xx 1/2 xx S_{ABC} = 1/4 xx S_{ABC}`.
+) Xét tam giác `NBC` và tam giác `ABC`, ta có:
Cùng chiều cao hạ từ `B` xuống `AC` ; `NC = 1/2 xx AC`
nên suy ra: `S_{NBC} = 1/2 xx S_{ABC}`
Như vậy, `S_{NBC} = 2 xx S_{MBN}` (2)
Mà tam giác `NBC` và `MBN` có chung đáy `BN` (3)
(1), (2), (3) `-> CK = 2 xx MH`. (**)
(*), (**) `-> S_{NGC} = 2 xx S_{MGN}`
Lại xét tam giác `NGC` và tam giác `MGN`, có chung đường cao từ `N` xuống `MC`
Từ những lập luận trên `-> GC = 2 xx GM` hay `GM = 1/3 xx MC`.
`S_{MBC} = 1/2 xx S_{ABC}` (cái này tự chứng minh như những cách chứng minh 2 tam giác trên nhé)
Xét tam giác `MGB` và tam giác `MCB` có chung đường cao hạ từ `B` xuống `MC` và `GM = 1/3 xx MC`
`-> S_{MGB} = 1/3 xx S_{MBC} = 1/3 xx 1/2 xx S_{ABC} = 1/6 xx S_{ABC} = 20`
`-> S_{ABC} = 20 xx 6 = 120` `(cm^2)`.
Đáp số: `120cm^2`.
