Giải thích các bước giải:
a) `ΔABC` có đường cao `BM, CN`
`=> BM⊥AC; CN⊥AB`
Xét `ΔABM` và `ΔACN` có:
` \hat{AMB}=\hat{CNA}=90^0 (BM⊥AC; CN⊥AB)`
`\hat{BAM}=\hat{CAN}`
`=>` $ΔABM\backsimΔACN$ (g.g)
b) Sửa đề: `ΔAMN` đồng dạng với `ΔABC`
$ΔABM\backsimΔACN$ `=> \frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC} => \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}`
Xét `ΔAMN` và `ΔABC` có:
`\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}`
`\hat{MAN}=\hat{BAC}`
`=>` $ΔAMN\backsimΔABC$ (c.g.c)
c) Gọi `K` là giao điểm của `AH` với `BC`
`ΔABC` có: hai đường cao `BM` và `CN` cắt nhau tại `H`
`=> H` là trực tâm `ΔABC => AK⊥BC`
Xét `ΔBHK` và `ΔBCM` có:
`\hat{BKH}=\hat{BMC}=90^0 (AK⊥BC; BM⊥AC)`
`\hat{KBH}=\hat{MBC}`
`=>` $ΔBHK\backsimΔBCM$ (g.g)
`=> \frac{BH}{BC}=\frac{BK}{BM} => BH.BM=BC.BK` (1)
Xét `ΔCHK` và `ΔCBN` có:
`\hat{CKH}=\hat{CNB}=90^0 (AK⊥BC; CN⊥AB)`
`\hat{HCK}=\hat{BCN}`
`=>` $ΔCHK\backsimΔCBN$ (g.g)
`=> \frac{CH}{BC}=\frac{CK}{CN} => CH.CN=BC.CN` (2)
Từ (1) (2) `=> BH.BM+CH.CN=BC.BK+BC.CN=BC(BK+CN)=BC.BC=BC^2`
d) `\hat{BAC}=60^0 => \hat{BAM}=60^0`
`ΔABM` vuông tại `A` có `\hat{BAM}=60^0`
`=> AB=2AM => \frac{AM}{AB}=1/2`
$ΔAMN\backsimΔABC$ theo tỷ số đồng dạng là `\frac{AM}{AB}=1/2`
`=> \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=(1/2)^2=1/4`
`=> S_{AMN}=1/4 S_{ABC}`
