a, AH ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{AHC}=90°$
CE ⊥ AD (gt) ⇒ $\widehat{AEC}=90°$
Xét tứ giác AHEC có: $\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90°$ (cmt)
Tứ giác có hai đỉnh H và E cùng nhìn AC dưới một góc vuông
⇒ Tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn đường kính AC
b, Tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn đường kính AC (cmt)
⇒ $\widehat{CHE}=\widehat{CAE}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{CE}$)
Hay $\widehat{CHE}=\widehat{CAD}$
Xét (O) có: $\widehat{CBD}=\widehat{CAD}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{CD}$)
⇒ $\widehat{CHE}=\widehat{CBD}$
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị do BC cắt HE và BD
⇒ HE // BD
c, Xét (O) có: $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{AB}$)
Hay $\widehat{ACH}=\widehat{ADB}$
Xét (O) , đường kính AD có: B ∈ (O) (gt)
⇒ $\widehat{ABD}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét ΔACH và ΔADB có:
$\widehat{ACH}=\widehat{ADB}$ (cmt)
$\widehat{AHC}=\widehat{ABD}=90°$
⇒ ΔACH ~ ΔADB (g.g)
⇒ $\frac{AC}{AD}=\frac{AH}{AB}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ AH.AD=AB.AC
⇒ $AH=\frac{AB.AC}{AD}=\frac{AB.AC}{2R}$
Có $S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC$
⇒ $S_{ABC}=\frac{1}{2}.\frac{AB.AC}{2R}.BC=\frac{AB.AC.BC}{4R}$
