Kẻ $DI\bot DB(I\in BC)$
Ta có $\widehat{ADN}=\widehat{CDI}$ do cùng phụ với $\widehat{CDN}$
Suy ra $\Delta ADN\sim \Delta CDI(g-g)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{CD}} = \dfrac{{AN}}{{CI}} = \dfrac{{DN}}{{DI}}\\ \Rightarrow AD.DI = DN.DC\\ \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{DI}} = \dfrac{{AD}}{{DC}} \Rightarrow \dfrac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}} = \dfrac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}} \end{array}$
Ta có $AK=DC$ do $AKDC$ là hình chữ nhật.
Lại có $\widehat{ACB}=\widehat{DAC}\Rightarrow \cot^2 DAC=\cot ^2 ACB$
$\cot^2 DAC=\cot ^2 ACB=\dfrac{AD^2}{DC^2}=\dfrac{ND^2}{DI^2}$
Bây giờ ta có điều phải chứng minh tương đương với:
$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{{N{D^2}}}{{D{I^2}.D{N^2}}} + \dfrac{1}{{D{B^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{D{C^2}}} = \dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{B^2}}} \end{array}$
Điều này là hoàn toàn đúng vì $\Delta BDI$ vuông tại $D$. Vậy ta có điều phải chứng minh.
