Đáp án:
a) Ta có tam giác ADH vuông tại D=> A,D,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Tam giác AEH vuông tại E=> A,E,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
=> A,D,E,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
=> tâm I chính là trung điểm của AH.
b) Xét ΔABD và ΔACE có:
$\begin{array}{l}
+ )\widehat A\,chung\\
+ )\widehat E = \widehat D = {90^0}\\
\Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta ACE\left( {g - g} \right)\\
\Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}\\
\Rightarrow AE.AB = AD.AC
\end{array}$
C)
DM là tiếp tuyến của đường tròn tâm I
=> DI⊥DM tại D
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADI} + \widehat {IDH} = {90^0}\\
\widehat {IDH} + \widehat {BDM} = {90^0}
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {ADI} = \widehat {BDM}\\
Do:\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADI} = \widehat {IAD}\left( {\Delta IAD\,cân} \right)\\
\widehat {IAD} = \widehat {DEH}\left( {cùng\,chắn\,cung\,DH} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {DEH}\left( 1 \right)
\end{array}$
Ta dễ dàng cm được B,E,D,C nội tiếp đường tròn đường kính BC
=> góc DEH= góc DBM (cùng chắn cung DC)
=> góc DBM= góc BDM
=> tam giác BDM cân tại M
=> MD=MB
mà tam giác BDC vuông tại D
=> MD=MB=MC
=> M là trung điểm của BC
