Kẻ HE⊥BC tại E
Xét ΔBHE và ΔBCM có
$\widehat{BEH}=\widehat{ BMC}=90^o$
$\widehat{ MBC}$ chung
$\RightarrowΔBHE\simΔBCM$
$\Rightarrow\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BE}{BM}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow BH.BM=BC.BE$
Chứng minh tương tự ta có:
$\dfrac{CH}{BC}=\dfrac{CE}{CN}\Rightarrow CH.CN=BC.CE$
$\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BN}{BM}\Rightarrow BH.BM=BA.BN$
$\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CM}{CN}\Rightarrow CH.CN=CA.CM$
$\Rightarrow BN.BA+CM.CA$
$=BH.BM+CH.CN$
$=BC.BE+BC.CE$
$=BC(BE+CE)=BC.BC=BC²$
