Gọi giao điểm của AD và FE là K
Gọi M',G, I làn lượt là trung điểm của FE, AH và BC
Dễ dàng c/m đc 5 điểm I,E,G,F,D cùng nằm trên đg tròn
Gọi T là giao điểm của BK với (I)
Xét tam giác GEK và tam giácGDE
góc DGE chung
góc GEK=góc GDE (cùng = góc FDG)
=>tam giác GEK ~ tam giác GDE (g-g)
=> tỉ số =>GE^2=GD . GK (1)
Xét tam giác GTE và tam giác GEC
góc EGC chung
góc GET=góc ECT (cùng chắn cung TE )
=> tam giác GTE~tam giác GEC (g-g)
=> tỉ số => GE^2= GT.GC (2)
Từ 1 và 2 => GT.GC = GD.GK
=> GT/GD = GK/GC
Xét tam giác GKT và tam giác GCD
góc DGC chung
GT/GD = GK/GC
=> tam giác GKT~ tam giác GCD (c-g-c)
=> góc GTK = góc GDC=90
Xét (O) có góc BTC=90 (góc nội tiếp chắn nửa đg tròn)
=> 3 điểm G,T ,C thẳng hàng
=> BK vuông góc với GC tại T
xét tam giác BGC có BK và GD là 2 đg cao cắt nhau tại K
=> K là trực tâm tam giác BGC =>CK là đg cao thứ 3
=> CK vuông góc với BG
=> góc ACK=góc HBG (tự c/m đồng dạng {g-g} )
ta có góc AEF = góc ABC = góc AIC (nội tiếp, cùng chắn cung AC)
=> Tứ giác KECI nội tiếp (góc ngoài = góc đối trong)
=> góc ACK= góc KIE =góc ABK
=>góc HBG = góc góc ABK
=> góc ABM' = góc ABK
=> 3 điểm B . M' , K thẳng hàng
mà B, M ,K cũng thẳng hàng và M cũng là giao điểm của BK và FE
=> M trùng M'
=> M cũng là trung điểm của FE
