a)
Xét tứ giác $BHEK$, ta có:
$\widehat{BHE}=90{}^\circ $
$\widehat{BKE}=90{}^\circ $
$\to \widehat{BHE}+\widehat{BKE}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $
$\to BHEK$ là tứ giác nội tiếp
b)
Vì $BHEK$ là tứ giác nội tiếp
$\to \widehat{BHK}=\widehat{BEK}$ ( cùng chắn cung $BK$ )
Mà $\widehat{BEK}=\widehat{BCA}$ ( cùng phụ $\widehat{EBC}$ )
Nên $\widehat{BHK}=\widehat{BCA}$
Xét $\Delta BHK$ và $\Delta BCA$, ta có:
$\widehat{ABC}$ là góc chung
$\widehat{BHK}=\widehat{BCA}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to \Delta BHK\sim\Delta BCA\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$
$\to \frac{BH}{BC}=\frac{BK}{BA}$
$\to BH.BA=BK.BC$
c)
Gọi $D$ là giao điểm $HK$ và $CF$
Vì $BHEK$ là tứ giác nội tiếp
$\to \widehat{HBE}=\widehat{HKE}$ ( cùng chắn cung $HE$ )
Mà: $\widehat{HBE}=\widehat{ACD}$ ( cùng phụ $\widehat{A}$ )
Nên: $\widehat{HKE}=\widehat{ACD}$
$\to KDEC$ là tứ giác nội tiếp
$\to \widehat{EDC}=\widehat{EKC}=90{}^\circ $
$\to ED\bot DC$
Xét tứ giác $FHED$, ta có:
$\begin{cases}\widehat{EDF}=90{}^\circ\\\widehat{DFH}=90{}^\circ\\\widehat{FHE}=90{}^\circ\end{cases}$
$\to FHED$ là hình chữ nhật
Có $I$ là trung điểm $EF$
Nên $I$ cũng là trung điểm $HD$
$\to $ ba điểm $H,I,D$ thẳng hàng
$\to $ ba điểm $H,I,K$ thẳng hàng
