Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABC$ có:

$\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}=2R$ (định lý sin)

$\to \dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{R\sqrt{2}}{\sin B}=\dfrac{R\sqrt{2}}{\sin C}=2R$

$\to \sin B=\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\to\hat B=\hat C=45^o$

$\to\widehat{AOB}=2\widehat{ACB}=90^o$

b.Ta có: $\hat B=\hat C=45^o\to\Delta ABC$ vuông cân tại $A$

$\to BC=AB\sqrt{2}=2R$

c.Ta có: $\widehat{DCA}=180^o-\widehat{ACB}=135^o$

            $\widehat{AMC}=180^o-\widehat{CBA}=135^o$

$\to\widehat{AMC}=\widehat{ACD}$

Mà $\widehat{MAC}=\widehat{DAC}$

$\to\Delta AMC\sim\Delta ACD(g.g)$

$\to\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AC}{AD}$

$\to AM.AD=AC^2=2R^2$ không phụ thuộc $M$

d.Ta có $AM=AO=OM=R$

$\to\Delta OMA$ đều

$\to \widehat{MOA}=\widehat{OAM}=\widehat{AMO}=60^o$

Ta có $\widehat{AOB}=90^o, OA=OB\to\Delta OAB$ vuông cân tại $O$

$\to\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=45^o$

$\to\widehat{DAB}=\widehat{MAB}=\widehat{MAO}+\widehat{OAB}=60^o+45^o=105^o$

$\to\widehat{ADB}=180^o-\widehat{DAB}-\widehat{DBA}=180^o-105^o-45^o=30^o$

Ta có:

$\widehat{ANB}=\widehat{NBC}+\widehat{NCB}$

$\to \widehat{ANB}=\widehat{MBC}+\widehat{ACB}$

$\to \widehat{ANB}=\dfrac12\widehat{MOC}+\dfrac12\widehat{AOB}$

$\to \widehat{ANB}=\dfrac12(\widehat{COA}-\widehat{MOA})+\dfrac12\widehat{AOB}$

$\to \widehat{ANB}=\dfrac12(90^o-60^o)+\dfrac12\cdot 90^o$

$\to\widehat{ANB}=60^o$

e.Ta có: $AM.AD=2R^2$ (câu c)

$\to AM=\dfrac{2R^2}{AD}$

$\to 2MA+AD=\dfrac{4R^2}{AD}+AD\ge 2\sqrt{\dfrac{4R^2}{AD}.AD}=4R$

Dấu = xảy ra khi $\dfrac{4R^2}{AD}=AD$

$\to AD=2R\to AM=R$

f.Từ câu c

$\to\widehat{ACM}=\widehat{MDC}=\dfrac12\widehat{MIC}$

$\to\widehat{ACI}=\widehat{ACM}+\widehat{MCI}=\dfrac12\widehat{CIM}+\widehat{MCI}=90^o$ vì $\Delta ICM$ cân tại $I$

$\to CI\perp AC$

$\to I\in$ đường thẳng vuông góc với $AC$ cố định

g.Từ câu f ta có: $IC\perp AC$

$\to AC$ là tiếp tuyến của $(I)$

$\to (MCD)$ tiếp xúc với $AC$ cố định