Lời giải:
a) Ta có:
$E$ là điểm chính giữa $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}\quad (gt)$
$\Rightarrow \mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{EC}\limits^{\displaystyle\frown}$
$\Rightarrow \widehat{BAE} = \widehat{CAE}$ (góc nội tiếp tương ứng)
$\Rightarrow AE$ là phân giác của $\widehat{BAC}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$CD$ là phân giác của $\widehat{ACB}$
Ta lại có: $AE\cap CD = \{I\}$
$\Rightarrow I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$
b) Ta có:
$\quad \widehat{AIF} = \dfrac12\left(sđ\mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown} + \mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown}\right)$
$\Leftrightarrow \widehat{AIF} = \dfrac12\left(sđ\mathop{CF}\limits^{\displaystyle\frown} + \mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}\right)$
$\Leftrightarrow \widehat{AIF} = \dfrac12sđ\mathop{EF}\limits^{\displaystyle\frown}$
Ta lại có:
$\widehat{EDF} = \dfrac12sđ\mathop{EF}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp chắn $\mathop{EF}\limits^{\displaystyle\frown}$)
Do đó: $\widehat{AIF} = \widehat{EDF}$
hay $\widehat{MIF} = \widehat{MDN}$
Xét tứ giác $DMIN$ có:
$\widehat{MIF} = \widehat{MDN}$
Do đó: $DMIN$ là tứ giác nội tiếp
