a) ΔABD và ΔACE ⊥ A ⇒ ∠DAB = ∠EAC =90o
∠DAC= ∠DAB+ ∠BAC
∠BAE = ∠EAC + ∠BAC
⇒ ∠DAC=∠BAE (cùng bằng 90o +ˆBAC )
Xét ΔABE và ΔADC có:
AB=AD (do ΔABD vuông cân đỉnh A)
ˆBAE=ˆDAC (chứng minh trên)
AE=AC (do ΔACE cân đỉnh A)
⇒ΔABE=ΔADC (c.g.c)
ˆB1=ˆD1 (hai góc tương ứng) (1)
⇒BE=DC (hai cạnh tương ứng bằng nhau) (đpcm)
+) Gọi DC cắt BE tại I
và gọi AB cắt DC tại J
Ta có: ˆDIE=ˆIBJ+ˆIJB (góc ngoài ΔIJB)
=ˆB1+ˆJ2 sử dụng (1) và ˆJ2=ˆJ1 (đối đỉnh)
=ˆD1+ˆJ1=D1^+J1^
=90o (do ΔADJ⊥A)
⇒ˆDIE=90o⇒DI⊥IE⇒DIE^=90o⇒DI⊥IE hay DC⊥BEDC⊥BE (đpcm)
b) Kẻ DM⊥AH và EN⊥AH và gọi AH cắt DE tại OO
Xét hai tam giác vuông ΔMAD và ΔHBA có:
AD=ABB (do ΔABD cân đỉnh A)
ˆMAD=ˆHBA (cùng phụ với ˆHAB )
⇒ΔMAD=ΔHBA (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒DM=AH (hai cạnh tương ứng) (2)
Chứng minh tương tự ΔNAE=ΔHCA (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒EN=AH (hai cạnh tương ứng) (3)
Từ (2) và (3) suy ra DM=EN
Xét hai tam giác vuông ΔMOD và NOE có:
DM=EN (chứng minh trên)
ˆMOD=ˆNOE (đối đỉnh)
⇒ΔMOD=ΔNOE (cạnh góc vuông - góc nhọn)
⇒DO=EO⇒O là trung điểm của DE
AH cắt DE tại O (cách dựng)
Vậy AHAH đi qua trung điểm của DE (đpcm).
