a) tam giác ABN và tam giác ABC chung chiều cao hạ từ B xuống AC ; đáy AN = 1/3 đáy AC

=> S(ABN) = `1/3` xS(ABC)

`Tam giác ACM và ACB  có chung chiều cao hạ từ C xuống AB ; đáy AM = 1/3 đáy AB

=> S(AMC) = `1/3` x S(ABC)

=> S(AMC) = S(ANB) Vì cùng bằng `1/3` S(ABC)

b) Ta có: S(AMC) = S(CNI) + S(AMIN)

S(ANB) = S(BMI) + S(AMIN)

Mà S(AMC) = S(ANB) nên S(CNI) = S(BMI)

c) Nối A với I:

Ta có: S(AMI) = `1/2`  S(BMI) (Vì đáy AM = `1/2` đáy BM ; chung chiều cao hạ từ I xuống AB)

S(ANI) = `1/2`  S(CNI) 

Mà S(CNI) = S(BMI) nên S(AMI) = S(ANI) = 90 : 2 = 45 cm²

=> S(AIB) = 3 x S(AMI) = 3 x 45 = 135 cm²

=>S(ABN) = S(AIB) + S(AIN) = 135 + 45 = 180 cm^2`

=> S(ABC) = 3 x S(ABN) = 3 x 180 = 540 cm²  `

Đáp án:

a) Vì AM bằng `1/3` AB nên diện tích hình tam giác AMC bằng `1/3` diện tích hình tam giác ABC.

Vì AN bằng `1/3` AB nên diện tích hình tam giác ABN bằng `1/3` diện tích hình tam giác ABC.

Ta thấy diện tích của hai hình tam giác bằng `1/3` diện tích hình tam giác ABC nên diện tích hai hình tam giác bằng nhau.

Vậy diện tích hình tam giác ABN bằng diện tích hình tam giác AMC.

b) Vì diện tích hình tam giác AMC bằng `1/3` diện tích hình tam giác ABC nên diện tích hình tam giác BMC bằng `2/3` diện tích hình tam giác ABC.

Vì AN bằng `1/3` AC nên CN bằng `2/3` AC. Vậy diện tích hình tam giác MNC bằng `2/3xx1/3=2/9` diện tích hình tam giác ABC.

Ta có tỉ số diện tích hình tam giác MNC và BMC là $\dfrac{2}{9}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$.

Hai hình tam giác có chung đáy MC. Vì diện tích hình tam giác MNC bằng `1/3` diện tích hình tam giác BMC nên độ dài đoạn NI bằng `1/3` BI.

Vì NI bằng `1/3` BI nên NI bằng `1/4` BN`<=>`BI bằng `3/4` BN.

Do NI bằng `1/4` BN nên diện tích hình tam giác NIC bằng `1/4` diện tích hình tam giác BNC.

Ta có AN bằng `2/3` AC. Vậy diện tích hình tam giác BNC bằng `2/3` diện tích hình tam giác ABC.

Do đó, diện tích hình tam giác NIC bằng `2/3xx1/4=1/6` diện tích hình tam giác ABC.

Do BM bằng `2/3` AB nên diện tích hình tam giác BMN bằng `2/3` diện tích hình tam giác ABM.

Vậy diện tích hình tam giác BMN bằng `2/3xx1/3=2/9` diện tích hình tam giác ABC.

Ở trên ta có BI bằng `3/4` BN nên diện tích hình tam giác BMI bằng `2/9xx3/4=1/6` diện tích hình tam giác ABC.

Vì diện tích hai hình tam giác đều bằng `1/6` diện tích hình tam giác ABC nên hai hình tam giác bằng nhau.

Vậy diện tích hình tam giác NIC bằng diện tích hình tam giác BMI.

c) Diện tích hình tứ giác AMIN chiếm `1/3-1/6=1/6` diện tích hình tam giác ABC.

Diện tích hình tam giác ABC là:

         $90:\dfrac{1}{6}=540$ (cm$^2$)

           Đáp số: `540`cm$^2$.