a) Do H là trực tâm tam giác ABC nên $BH \perp AC, CH \perp AB$.
Lại có $BD \perp AB$, $CD \perp AC$.
Vậy BH//CD, CH//BD.
Xét tứ giác BDCH có BH//CD, CH//BD. Vậy tứ giác BDCH là hình bình hành.
b) Xét tam giác ABC có
$\widehat{BAC} = 180^{\circ} - \widehat{ABC} - \widehat{ACB}$
$= 180^{\circ} - (90^{\circ} - \widehat{CBD}) - (90^{\circ} - \widehat{BCD})$
$= \widehat{CBD} + \widehat{BCD}$
Xét tam giác BDC có
$\widehat{CBD} + \widehat{BCD} + \widehat{BDC} = 180^{\circ}$
$<-> \widehat{CBD} + \widehat{BCD} = 180^{\circ} - \widehat{BDC}$ (2)
Vậy
$\widehat{BAC} = 180^{\circ} - \widehat{BDC}$
$<-> \widehat{BAC} + \widehat{BDC} = 180^{\circ}$
c) Do tứ giác BDCH là hình bình hành nên BC cắt DH tại trung điểm mỗi đường.
Lại có M là trung điểm BC nên ta cũng suy ra M là trung điểm DH.
Vậy M, D, H cùng nằm trên một đường thẳng.
Nói cách khác, M, D, H thẳng hàng.