`a)` `\hat{C}=α\ (0<α<90°)`
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
`AH^2=BH.CH`
Mà `CH=3BH`
`=>AH^2=BH.3BH=3BH^2`
`=>({AH}/{BH})^2=3`
`=>{AH}/{BH}=\sqrt{3}`
$∆ABH$ vuông tại $H$
`=>tanB={AH}/{BH}=\sqrt{3}`
`=>\hat{B}=60°`
`=>\hat{C}=90°-\hat{B}=90°-60°=30°`
Vậy `α=30°`
$\\$
`b)` Gọi $I$ là trung điểm $BC$
`=>AI` là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AI=CI=1/ 2 BC`
`=>∆IAC` cân tại $I$
`=>\hat{IAC}=\hat{ICA}`
`\hat{AIH}` là góc ngoài $∆IAC$
`=>\hat{AIH}=\hat{IAC}+\hat{ICA}=2\hat{ICA}=2α`
$∆AIH$ vuông tại $H$
`=>sin2α=sinAIH={AH}/{AI}`
Ta có: `AH.BC=AB.AC`
(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
`=>AH={AB.AC}/{BC}`
`sinα=sin C={AB}/{BC}={AB}/{2AI}`
`cosα=cosC={AC}/{BC}`
`=>2sinα.cosα=2. {AB}/{2AI} . {AC}/{BC}`
`={AB.AC}/{BC.AI}={AH}/{AI}=sin2α`
Vậy `sin2α=2sinα cosα` (đpcm)
