+ Ta có: $AB, BC, CA$ tỉ lệ với $4, 7, 5$.
⇔$\frac{AB}{4} = \frac{BC}{7} = \frac{CA}{5}$ (*)
a.
+ Sử dụng công thức đường phân giác kết hợp với (*), ta có:
$\frac{MC}{BM} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$
⇔$\frac{MC}{BM + MC} = \frac{5}{4 + 5}$
⇔$\frac{MC}{BC} = \frac{5}{9}$
⇔$MC = \frac{5}{9}.BC = \frac{5}{9}.18 = 10$
b.
+ Sử dụng công thức đường phân giác kết hợp với (*), ta có:
$\frac{NC}{NA} = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{4}$
+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\frac{NC + NA}{7 + 4} = \frac{NC}{7} = \frac{NA}{4} = \frac{NC - NA}{7 - 4}$
⇔$\frac{AC}{11} = \frac{3}{3} = 1$
⇒$AC = 1$
c.
+ Vì $AO$ là phân giác $\widehat{BAC}$, $BO$ là phân giác $\widehat{PBC}$ nên áp dụng công thức đường phân giác, ta có:
$\frac{OP}{OC} = \frac{AP}{AC} = \frac{BP}{BC}$
+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\frac{OP}{OC} = \frac{AP}{AC} = \frac{BP}{BC} = \frac{AB + BP}{AC + BC} = \frac{AB}{AC + BC}$
+ Theo (*) ⇒$AC = \frac{5}{4}AB$; $BC = \frac{7}{4}AB$
+ $\frac{OP}{OC} = \frac{AB}{AC +BC} = \frac{AB}{\frac {5}{4}AB + \frac {7}{4}AB} = \frac{AB}{3AB} = \frac{1}{3}$
d.
+ Áp dụng công thức đường phân giác, ta có:
$\left\{ \begin{array} x \frac {MB}{MC} = \frac {AB}{AC} \\ \frac {NC}{NA} = \frac {BC}{AB} \\ \frac{PA}{PB} = \frac{AC}{BC} \\ \end{array} \right.$
⇒$\frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB} = \frac{AB}{AC}.\frac{BC}{AB}.\frac{AC}{BC} = 1$ (đpcm).
e.
+ Kẻ $MH ⊥ AB$, $MK ⊥ AC$, $CL ⊥ AB$.
+ CT: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha . cos\alpha$
+ Áp dụng vào bài toán:
+ Ta có: $sinA = 2sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}$
+ $S_{ABM} + S_{AMC} = S_{ABC}$
+
Ảnh kèm theo là phần còn lại của câu e.
