`a)` Ta có:
`\qquad \hat{CBC_1}=\hat{ABC}+\hat{ABC_1}`
`=\hat{ABC}+60°` (do $∆ABC_1$ đều)
`\qquad \hat{A_1BA}=\hat{ABC}+\hat{A_1BC}`
`=\hat{ABC}+60°` (do $∆ABC_1$ đều)
`=>\hat{CBC_1}=\hat{A_1BA}`
$\\$
Xét $∆BCC_1$ và $BA_1A$ có:
`\qquad BC=BA_1` (do $∆BCA_1$ đều)
`\qquad \hat{CBC_1}=\hat{A_1BA}` (c/m trên)
`\qquad BC_1=BA` (do $∆ABC_1$ đều)
`=>`$∆BCC_1=∆BA_1A$(c-g-c)
`=>`$CC_1=A_1A$
Tương tự chứng minh được: $∆AC C_1=∆AB_1B$ (c-g-c)
`=>`$CC_1=B_1B$
`=>`$AA_1=BB_1=CC_1$
$\\$
`b)` Gọi $I$ là giao điểm của $BB_1$ và $CC_1$
Vì $∆BCC_1=∆BA_1A$ (c/m trên)
`=>\hat{BC_1C}=\hat{BA A_1}`
`=>\hat{BC_1I}=\hat{BAI}`
`=>C_1;A` cùng nhìn cạnh $BI$ dưới hai góc bằng nhau
`=>AIBC_1` nội tiếp
`=>I` thuộc đường tròn ngoại tiếp `∆ABC_1` $(1)$
`\qquad \hat{AIB}+\hat{AC_1B}=180°` (tổng $2$ góc đối bằng $180°$)
`=>\hat{AIB}=180°-\hat{AC_1B}=180°-60°=120°`
$\\$
`\qquad \hat{AIB_1}=\hat{AC_1B}=60°` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
`=>\hat{AIB_1}=\hat{ACB_1}=60°` `(\hat{AB_1C}=60°` do $∆ACB_1$ đều)
`=>I;C` cùng nhìn cạnh $AB_1$ dưới hai góc bằng nhau
`=>AICB_1` nội tiếp
`=>I` thuộc đường tròn ngoại tiếp `∆ACB_1` $(2)$
`=>\hat{AIC}+\hat{AB_1C}=180°`
`=>\hat{AIC}=180°-\hat{AB_1C}=180°-60°=120°`
Ta có:
`\qquad \hat{AIB}+\hat{AIC}+\hat{BIC}=360°`
`=>\hat{BIC}=360°-(120°+120°)=120°`
`=>\hat{BIC}+\hat{BA_1C}=120°+60°=180°`
Mà `\hat{BIC};\hat{BA_1C}` ở vị trí đối nhau
`=>BICA_1` nội tiếp
`=>I` thuộc đường tròn ngoại tiếp `∆BCA_1` $(3)$
$\\$
Từ `(1);(2);(3)=>3` đường tròn ngoại tiếp `∆BCA_1;∆ACB_1;∆ABC_1` cắt nhau tại điểm $I$
$\\$
`c)` Vì $BICA_1$ nội tiếp $(O_1)$
`=>O_1I=O_1C`
$\quad AICB_1$ nội tiếp $(O_2)$
`=>O_2I=O_2C`
`=>O_1O_2` là trung trực của $IC$
`=>O_1O_2`$\perp IC$ tại trung điểm $D$ của $IC$
`=>\hat{IDO_1}=90°`
$\\$
Tương tự chứng minh được:
`\qquad O_1O_3`$\perp IB$ tại trung điểm $E$ của $IB$
`=>\hat{IEO_1}=90°`
$\\$
`=>\hat{IDO_1}+\hat{IEO_1}=180°`
`=>IDO_1E` nội tiếp
`=>\hat{DO_1E}+\hat{EID}=180°`
`=>\hat{DO_1E}=180°-\hat{EID}`
`=180°-\hat{BIC}=180°-120°=60°`
`=>\hat{O_2O_1O_3}=60°`
Tương tự chứng minh được:
`\qquad \hat{O_1O_2O_3}=60°`
`=>∆O_1O_2O_3` có: `\hat{O_1O_2O_3}=\hat{O_2O_1O_3}=60°`
`=>∆O_1O_2O_3` đều
