Đáp án:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\) và \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2\).
Giải thích các bước giải:
Ta có: \(AO \bot BC,d \bot BC \Rightarrow AO//d:x - y - 1 = 0\)
Đường thẳng AO song song d nên có phương trình dạng \(x - y + C = 0\).
Điểm \(A\left( {1;2} \right) \in AO\) nên \(1 - 2 + C = 0 \Leftrightarrow C = 1 \Rightarrow AO:x - y + 1 = 0\)
Dễ thấy \(AOBH\) là hình vuông nên \(AO = AH = d\left( {A,d} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \)
Gọi \(O\left( {t;t + 1} \right) \in AO\), khi đó \(AO = \sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t + 1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {2{{\left( {t - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 1\\t - 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}O\left( {2;3} \right)\\O\left( {0;1} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(O\left( {2;3} \right)\) thì \(\left( {{C_1}} \right)\) là đường tròn tâm \(O\left( {2;3} \right)\) bán kính \(AO = AH = \sqrt 2 \) nên
\(\left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\)
Với \(O\left( {0;1} \right)\) thì \(\left( {{C_2}} \right)\) là đường tròn tâm \(O\left( {0;1} \right)\) bán kính \(AO = AH = \sqrt 2 \) nên
\(\left( {{C_2}} \right):{\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2\) hay \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2\).
Vậy có hai đường tròn cần tìm \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\) và \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2\).
