`a)` $∆ABC$ vuông cân tại $A$ (gt)
`=>AB=AC`
`\qquad \hat{BAC}=90°`
`=>\hat{BAH}+\hat{CAI}=90°` $(1)$
$CI\perp AD$ tại $I$ (gt)
`=>∆ACI` vuông tại $I$
`=>\hat{CAI}+\hat{ACI}=90°` (hai góc phụ nhau) $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{BAH}=\hat{ACI}`
Xét $∆ABH$ và $∆CAI$ có:
`\hat{AHB}=\hat{CIA}=90°`
$AB=CA$ (c/m trên)
`\hat{BAH}=\hat{ACI}` (c/m trên)
`=>∆ABH=∆CAI(ch-gn)`
`=>BH=AI` (hai cạnh tương ứng) (đpcm)
$\\$
`b)` $∆ABH$ vuông tại $H$
`=>BH^2+AH^2=AB^2` (định lý Pytago)
Mà $∆ABH=∆CAI$ (câu a)
`=>AH=CI`
`=>BH^2+CI^2=AB^2`
Vì $AB$ không đổi nên $BH^2+CI^2=AB^2$ có giá trị không đổi (đpcm)
$\\$
`c)`
$∆BDH$ vuông tại $H$
`=>\hat{MBH}+\hat{BDH}=90°` (hai góc phụ nhau) $(3)$
$∆ABC$ vuông cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến
`=>AM=BM= 1/ 2 BC`
`\qquad AM` đồng thời là đường cao của $∆ABC$
`=>AM`$\perp BC$
`=>∆AMD` vuông tại $M$
`=>\hat{MAD}+\hat{MDA}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{MAI}+\hat{BDH}=90°` $(4)$
Từ `(3);(4)=>\hat{MBH}=\hat{MAI}`
Xét $∆MBH$ và $∆MAI$ có:
`BM=AM` (c/m trên)
`\hat{MBH}=\hat{MAI}` (c/m trên)
`BH=AI` (câu a)
`=>∆MBH=∆MAI` (c-g-c)
`=>\hat{MHB}=\hat{MIA}` (hai góc tương ứng)
`=>\hat{MHB}=\hat{MIH}`
`\qquad MH=MI` (hai cạnh tương ứng)
`=>∆MHI` cân tại $M$
`=>\hat{MHI}=\hat{MIH}`
Ta có:
`\qquad \hat{BHI}=90°`
`=>\hat{MHB}+\hat{MHI}=90°`
`=>\hat{MIH}+\hat{MIH}=90°`
`=>2\hat{MIH}=90°`
`=>\hat{MIH}={90°}/2=45°`
Ta lại có:
`\hat{HIN}=90°`
`=>\hat{MIH}+\hat{MIN}=90°`
`=>\hat{MIN}=90°-\hat{MIH}=90°-45°=45°`
`=>\hat{MIH}=\hat{MIN}`
Mà tia $IM$ nằm giữa hai tia $IH$ và $IN$
`=>IM` là tia phân giác của `\hat{HIN}` (đpcm)
