Đáp án:
a)
Xét $\triangle BHA$ và $\triangle AIC$ có
$\widehat{BHA}=\widehat{AIC}=90^0$
$AB=AC$
$\widehat{BAH}=\widehat{ICA}$ (cùng phụ với $\widehat{IAC}$)
$\Rightarrow \triangle BHA=\triangle AIC$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow BH=AI$
b)
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$
$M$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow AM=BM$
$\Rightarrow \triangle ABM$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{MBA}=\dfrac{180^0-\hat{BMA}}{2}$ (1)
Xét $\triangle BDA$ và $\triangle ANC$ có
$AB=AC$
$\widehat{BAH}=\widehat{ICA}$
$\widehat{ABD}=\widehat{NAC}=45^0$
$\Rightarrow \triangle BDA=\triangle ANC$ (g.c.g)
$\Rightarrow BD=AN$
$\Rightarrow DM=NM$
$\Rightarrow \triangle AMN$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MDN}=\widehat{MND}=\dfrac{180^0-\hat{BMA}}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MDN}=\widehat{MBA}$
mà chúng ở vị trí đồng vị
$\Rightarrow DN//AB$
mà $AB\bot AC$
$\Rightarrow DN\bot AC$
c)
Ta có: $\triangle BHD=\triangle AIN$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
$\Rightarrow IN=DH$ và $\widehat{BDH}=\widehat{ANI}$
Ta có:
$\widehat{BDH}+\widehat{HDM}=180^0$
$\widehat{INA}+\widehat{INM}=180^0$
mà $\widehat{BDH}=\widehat{ANI}$
$\Rightarrow \widehat{INM}=\widehat{HDM}$
Xét $\triangle IMN$ và $\triangle HMD$ có
$NM=DM$
$IN=DH$
$\widehat{INM}=\widehat{HDM}$
$\Rightarrow \triangle IMN=\triangle HMD$ (c.g.c)
$\Rightarrow MI=MH$ và $\widehat{MIN}=\widehat{MHD} $
Do $MI=MH$ nên $\Rightarrow \triangle HMI$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MHD}=\widehat{HIM}$
mà $\widehat{MIN}=\widehat{MHD} $
$\Rightarrow \widehat{HIM}=\widehat{MIN}$
$\Rightarrow IM$ là phân giác của $\widehat{HIC}$
