a) Xét $\Delta$ vuông $ ABE$ và $\Delta$ vuông $CAH$ có:
$AB=CA$ (do $\Delta ABC$ vuông cân đỉnh A)
$\widehat{ABE}=\widehat{CAH}$ (do cùng cộng $\widehat{BAE}$ bằng 90^o)
$\Rightarrow\Delta ABE=\Delta CAH$ (cạnh huyền- góc nhọn)
$\Rightarrow BE=AH$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)
b) Xét $\Delta ABN$ và $\Delta ACN$ có:
$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)
$AN$ chung
$BN=CN$ (do N là trung điểm cạnh $BC$)
$\Rightarrow \Delta ABN=\Delta ACN$ (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{ANB}=\widehat{ANC}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{ANB}+\widehat{ANC}=180^o$
$\Rightarrow \widehat{ANB}=\widehat{ANC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow AN\bot BC$
Trong $\Delta ANI:\widehat{NIA}+\widehat{NAI}=90^o $
$\Delta IHC:\widehat{HIC}+\widehat{ICH}=90^o$
mà $\widehat{NIA}=\widehat{HIC}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow\widehat{NAI}=\widehat{ICH}$ (do cùng cộng với hai góc bằng nhau ra $90^o$)
hay $\widehat{NAE}=\widehat{NCH}$ (1)
lại có $\Delta ABE=\Delta CAH(\text{câu a} )\Rightarrow AE=CH$ (2)
$\Delta ANC\bot N$ có $\widehat{ACN}=45^o$
$\Rightarrow \Delta ANC$ vuông cân đỉnh N $\Rightarrow AN=CN$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\Delta NAE=\Delta NCH$ (c.g.c)
