Đáp án:
`a)`
Theo bài ra, ta có `I` là trung điểm ` AB ` ; `AM` là đường trung tuyến của ` ΔABC` nên `M` là trung điểm `BC`
` => IM` là đường trung bình của ` ΔBAC`
` => IM //// BC ` Và ` IM = 1/2 AC` ( tính chất đường trung bình )
Lại có ` N` đối xứng với `M` qua `I` nên ` IM = IN = 1/2 AC`
` => MN = IM + IN = 1/2 *AC + 1/2* AC = AC`
` IM //// AC` nên `MN //// AC`
Xét tứ giác ` ANMC` có ` MN //// AC ; MN = AC` nên tứ giác `ANMC` là hình bình hành
Vì tứ giác `ANMC` là hình bình hành nên ` AN //// CM `
` => AN //// BM`
Mà ` AN = CM` ( tính chất hình bình hành ) ; ` CM = BM` ( `M` là trung điểm `BC` )
` => AN = BM`
Xét tứ giác ` AMBN` có `AN ////BM ; AN = BM` nên là hình bình hành
Lại có ` Δ ABC` vuông tại `A => BA ⊥ AC ;` Mà ` IM //// AC => IM ⊥ AB`
` => MN ⊥ AB `
Hình bình hành ` AMBN` có hai đường chéo ` MN ⊥ AB` nên là hình thoi
Vậy ` ANMC` là hình bình hành ; ` AMBN` là hình thoi
`b)`
Ta có ` AC = 6 cm`
Mà `MN =AC ` ( chứng minh câu a ) ` => MN 6cm`
Diện tích hình thoi ` AMBN` là
` S_{AMBN} = 1/2 * MN * AB = 1/2 * 6 * 4 = 12 (cm)`
( Công thức tính diện tích hình thoi : `S =` đường chéo `1 \times` đường chéo `2 \times 1/2` )
`c)`
Để `AMBN` là hình vuông thì hai đường chéo ` AB = MN` ( dấu hiệu nhận biết hình vuông )
Mà `MN = AC => AB = AC`
` => Δ ABC` cân tại `A` ; Mà ` Δ ABC` là tam giác vuông
` => Δ ABC` vuông cân tại `A`
Vậy để ` AMBN` là hình vuông thì ` Δ ABC` vuông cân tại `A`
