a)Xét ΔBHA và ΔBAD, ta có:
góc ABD chung
góc BHA=BAD=$90^{0}$
⇒ΔBHA ≈ ΔBAD(g.g)
b)Vì AM là trung tuyến của Δvuông ABC
⇒ AM=BM
⇒ΔABM cân tại M
⇒góc ABC=BAH
Mà góc BAH=BDA(ΔBHA ≈ ΔBAD)
⇒góc ABC=BDA
Xét ΔBAC và ΔBAD,ta có:
BAD chung
góc BDA=ABC(cmt)
⇒ΔBAC ≈ ΔDAB(g.g)
⇒$\frac{AB}{AD}$ =$\frac{AC}{AB}$
⇒AB²=AD.AC (1)
Vì ΔBHA ≈ ΔBAD(cmt)
⇒$\frac{AB}{BD}$ =$\frac{BH}{AB}$
⇒AB²=BD.BH (2)
Từ (1);(2) ta có:
AD.AC=BH.BD (=AB²)
c)Ta có:DI║MC
⇒ΔIAD ≈ ΔMAC (đ/l Ta-lét)
⇒$\frac{ID}{MC}$ =$\frac{AI}{IM}$ (3)
Mà ΔAMC cân tại M ( trung tuyến trong Δ⊥)
⇒ ΔAID cân tại I
⇒ AI = ID
Ta có:EI║BM
⇒ΔAIE ≈ ΔAMB (đ/l Ta-lét)
⇒ $\frac{IE}{BM}$ = $\frac{AI}{IM}$ (4)
Mà ΔAMB cân tại M
⇒ΔAEI cân tại I
⇒EI=AI
Từ (3); (4), ta có:
$\frac{ID}{MC}$= $\frac{IE}{BM}$
Từ trên, ta có:
AI=EI=ID
Mà ΔEAD ⊥ tại A
⇒ AI là trung tuyến
⇒ I là trung điểm ED
Xét ΔIHD và ΔBHM ,ta có:
góc IHD=BHM=90 độ
góc HMB=HID (dlt)
⇒ ΔIHD≈ΔMHB(g.g)
