Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a)     Chứng minh tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp.
Ta có \(\angle AHC=\angle AEC={{90}^{0}}\,\,\left( gt \right)\Rightarrow \) Tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh H và E kề cạnh HE  cùng nhìn cạnh AC dưới góc \({{90}^{0}}\))
b)     Chứng minh \(DA.HE=DH.AC\)
\(\Rightarrow \angle ACH=\angle AEH\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH)
Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta HDE\) có:
\(\angle ADC=\angle HDE\) (đối đỉnh);
\(\begin{align}  & \angle ACH=\angle AEH\,\,\left( cmt \right) \\ & \Rightarrow \Delta ADC\sim \Delta HDE\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{DA}{DH}=\frac{AC}{HE}\Rightarrow DA.HE=DH.AC\ \ \left( dpcm \right) \\\end{align}\)
c)     Chứng minh tam giác \(EHC\) là tam giác cân.
Cách 1:
Ta có: \(AB=BD\ \ \left( gt \right)\Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(B\Rightarrow \angle BAD=\angle ADB\) (hai góc kề đáy).
Mà \(\angle BAC={{90}^{0}}\Rightarrow \angle BAD+\angle DAC={{90}^{0}}\Leftrightarrow \angle ADB+\angle DAC={{90}^{0}}\ \ \left( 1 \right)\)
Xét  \(\Delta AHD\) vuông tại \(H\) ta có:
\(\angle HDA+\angle HAD={{90}^{0}}\Leftrightarrow \angle BDA+\angle HAD={{90}^{0}}\ \ \ \left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\Rightarrow \angle HAD=\angle DAC\ \ hay\ \ \angle HAE=\angle EAC\ \ \ \left( 3 \right)\)
Xét tứ giác \(AHEC\) nội tiếp ta có:
\(\angle EAC=\angle EHC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)    (4)
\(\angle HAE=\angle HCE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)     (5)
Từ \(\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\Rightarrow \angle CHE=\angle HCE\ \ \left( =\angle HAE=\angle EAC \right).\)
\(\Rightarrow \Delta HEC\) cân tại \(E\ \ \left( dpcm \right).\)
.Cách 2:
                        
Do \(AB\bot AC\Rightarrow AB\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC
\(\Rightarrow \angle BAE=\angle ACE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AE)
Gọi F là trung điểm của AD, do tam giác ABD cân tại B \(\left( BA=BD \right)\)
\(\Rightarrow BF\bot AD\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)
Và \(\angle ABF=\angle DBF\,\,\left( 1 \right)\) (trung tuyến đồng thời là đường phân giác).
Xét tam giác ABF và tam giác CAE có:
\(\begin{align}  & \angle AFB=\angle CEA={{90}^{0}}; \\ & \angle BAF=\angle ACE\,\,\left( cmt \right) \\ & \Rightarrow \Delta ABF\sim \Delta CAE\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \angle ABF=\angle CAE \\\end{align}\)
Lại có: \(\angle CAE=\angle CHE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC) \(\Rightarrow \angle ABF=\angle CHE\,\,\left( 2 \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & BF\bot AE\,\,\left( cmt \right) \\ & CE\bot AE\,\,\left( gt \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow BF//CE\Rightarrow \angle DBF=\angle HCE\,\,\,\left( 3 \right)\) (so le trong) 
Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow \angle CHE=\angle HCE\Rightarrow \Delta EHC\) cân tại E (đpcm).