Lời giải:
a) Xét $∆MDC$ và $∆ABC$ có:
$\begin{cases}\widehat{C}:\ \text{góc chung}\\\widehat{M}=\widehat{A}=90^\circ\end{cases}$
Do đó: $∆MDC\backsim ∆ABC\ (g.g)$
b) Xét $∆ABH$ và $∆CAH$ có:
$\begin{cases}\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{HAC}$)}\\\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^\circ\end{cases}$
Do đó: $∆ABH\backsim ∆CAH\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{HB}{AH}=\dfrac{AH}{HC}$
$\Rightarrow AH^2 = HB.HC$
c) Xét $∆ABC$ có:
$BM = MC =\dfrac12BC\quad (gt)$
$MK//AB\quad (\perp AC)$
$\Rightarrow AK = KC =\dfrac12AC$
$\Rightarrow MK$ là đường trung bình của $∆ABC$
$\Rightarrow MK=\dfrac12AB$
Ta có:
$\widehat{MDC}=\widehat{MDK}=\widehat{HAC}$ (đồng vị)
$\widehat{HAC}=\widehat{ABH}=\widehat{ABC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)
$\Rightarrow \widehat{MDK}=\widehat{ABC}$
Xét $∆MDK$ và $∆CBA$ có:
$\begin{cases}\widehat{MDK}=\widehat{ABC}\quad (cmt)\\\widehat{K}=\widehat{A}= 90^\circ\end{cases}$
Do đó: $∆MDK\backsim ∆CBA\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{S_{MDK}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{MK}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{\dfrac12AB}{AC}\right)^2 = \dfrac{AB^2}{4AC^2}$
$\Leftrightarrow S_{MDK}=\dfrac{AB^2}{4AC^2}\cdot S_{ABC}$
$\Leftrightarrow S_{MDK}=\dfrac{AB^2}{4AC^2}\cdot\dfrac12AB.AC$
$\Leftrightarrow S_{MDK}=\dfrac{AB^3}{8AC}$
Ta có: $AH^2 = HB.HC$ (câu b)
$\Leftrightarrow AH^2 = 9.16$
$\Leftrightarrow AH^2 = 144$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:
$+)\quad AB^2 = HB^2 + AH^2$
$\Leftrightarrow AB^2 = 9^2 + 144$
$\Leftrightarrow AB^2 = 225$
$\Rightarrow AB = 15\ (cm)$
$+)\quad AC^2 = HC^2 + AH^2$
$\Leftrightarrow AC^2 = 16^2 + 144$
$\Leftrightarrow AC^2 = 400$
$\Rightarrow AC = 20\ (cm)$
Do đó:
$S_{MDK}=\dfrac{15^3}{8.20}=\dfrac{675}{32}\ (cm^2)$
