`a)` $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>\hat{BAC}=90°`
`=>\hat{DAE}=90°`
Mà `D;A;E\in (H;AH)`
`=>DE` là đường kính của `(H;HA)`
`=>H\in DE`
`=>D;H;E` thẳng hàng
$\\$
`b)` Vì `A;E\in (H;HA)`
`=>AH=EH`
`=>∆AEH` cân tại $H$
`=>\hat{EAH}=\hat{AEH}` $(1)$
$\\$
`\quad ∆ADE` vuông tại $A$
`=>\hat{ADE}+\hat{AED}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{BDE}+\hat{AEH}=90°` $(2)$
$\\$
`\qquad ∆ACH` vuông tại $H$
`=>\hat{CAH}+\hat{ACH}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{EAH}+\hat{ECB}=90°` $(3)$
$\\$
Từ `(1);(2);(3)=>\hat{BDE}=\hat{ECB}`
`=>`Tứ giác $BECD$ có hai đỉnh kề nhau $D;C$ cùng nhìn cạnh $BE$ dưới hai góc bằng nhau
`=>BECD` nội tiếp
$\\$
`c)` Gọi $F$ là giao điểm của $AM$ và $DE$
Ta có: `\hat{EAH}=\hat{AEH}` (từ $(1)$ câu b)
`\qquad AM` là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AM=MC=1/ 2 BC`
`=>∆MAC` cân tại $M$
`=>\hat{CAM}=\hat{ACM}=\hat{ACH}`
$\\$
Vì `\hat{CAH}+\hat{ACH}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{EAH}+\hat{CAM}=90°`
`=>\hat{AEH}+\hat{EAF}=90°`
`=>\hat{AEF}+\hat{EAF}=90°`
`=>∆AEF` vuông tại $F$
`=>AM`$\perp DE$ tại $F$ $(4)$
$\\$
Vì $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BECD$ (gt)
`=>ID=IE=IB=IC`
`=>∆IDE;∆IBC` cân tại $I$
Mà $H$ là trung điểm $DE$ (do $DE$ là đường kính của $(H;HA)$)
`=>IH` là trung tuyến $∆IDE$ cân tại $I$
`=>IH` đồng thời là đường cao $∆IDE$
`=>IH`$\perp DE$ $(5)$
$\\$
Từ `(4);(5)=>IH`//$AM$ $(6)$
$\\$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ (do $AM$ là trung tuyến $∆ABC$)
`=>IM` là trung tuyến $∆IBC$ cân tại $I$
`=>IM` đồng thời là đường cao $∆IBC$
`=>IM`$\perp BC$
Mà $AH\perp BC$
`=>IM`//$AH$ $(7)$
$\\$
Từ `(6);(7)=>AHIM` là hình bình hành
