a. Xét ΔOCD và ΔOBA có
\(\widehat {COD} = \widehat {BOA}\) (đối đỉnh)
OA=OD
OB=OC
⇒ΔOCD=ΔOBA (cgc)
⇒ \(\widehat {OBA} = \widehat {OCD}\)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
⇒ CD//AB
Lại có CD=AB ( 2 cạnh tương ứng)
⇒ABDC là hình bình hành
Mà \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)
⇒ABDC là hình chữ nhật
b. Xét ΔAED có H là trung điểm của AE, O là trung điểm AD
⇒ OH là đường trung bình của ΔAED
\(\begin{array}{l}
\to OH//DE\\
Mà:OH \bot AE\\
\to DE \bot AE\\
\to \widehat {AED} = 90^\circ
\end{array}\)
⇒ΔADE vuông tại E
\(\begin{array}{l}
\to OE = \dfrac{1}{2}AD\\
\to OE = OA = OD
\end{array}\)
Mà ABDC là hình chữ nhật có O là trung điểm của 2 đường chéo
⇒ OA=OB=OC=OD
\(\begin{array}{l}
\to OE = OB = OC\\
\to OE = \dfrac{1}{2}BC
\end{array}\)
Xét ΔBEC có
\(OE = \dfrac{1}{2}BC\)
⇒ ΔBEC vuông E ( định lý đảo về đường trung tuyến)
c. Xét DMEN có
\(\widehat {MDN} = \widehat {EDN} = \widehat {DME} = 90^\circ \)
⇒ DMEN là hình chữ nhật
⇒DM//NE hay BD//NE
\( \to \widehat {CBD} = \widehat {DEN}\) (đồng vị)
Mà \( \to \widehat {MDE} = \widehat {DEN}\) (so le trong)
\(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)( Xét hình chữ nhật ABDC)
\( \to \widehat {KDM} = \widehat {CAD}\) (so le trong)
⇒ \(\widehat {KDM} = \widehat {MDE}\)
⇒ DM là đường phân giác trong ΔKDE
Mà DM đồng thời là đường cao
⇒ ΔKDE cân tại D
⇒ DK=DE
d. Gọi I = ED ∩ MN
Xét ΔEAD có H là trung điểm của EA, I là trung điểm của ED
⇒ IH là đường trung bình
\( \to IH//AD\)
mà \(\widehat {KDM} = \widehat {EDM} = \widehat {MNE}\)
⇒ MN // AD (do 2 góc đồng vị bằng nhau) hay MI // AD
⇒ H, M, I thẳng hàng
⇒ H, M, N thẳng hàng
