`a)` Xét $∆AHC$ và $∆BAC$ có:
`\qquad \hat{C}` chung
`\qquad \hat{AHC}=\hat{BAC}=90°`
`=>∆AHC∽BAC` (g-g)
`=>{AH}/{BA}={HC}/{AC}` $(1)$
$\\$
Vì $AD$ là phân giác của `\hat{BAH}`
`=>{DH}/{DB}={AH}/{AB}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>{DH}/{DB}={HC}/{AC}` (đpcm)
$\\$
`b)` Ta có:
`\hat{CAD}+\hat{BAD}=\hat{BAC}=90°`
Mà `\hat{DAH}=\hat{BAD}` (do $AD$ là phân giác `\hat{BAH}`)
`=>\hat{CAD}+\hat{DAH}=90°`
$\\$
Xét $∆DAH$ vuông tại $H$
`=>\hat{ADH}+\hat{DAH}=90°` (hai góc phụ nhau)
$\\$
`=>\hat{ADH}=\hat{CAD}`
`=>\hat{ADC}=\hat{CAD}`
`=>∆ACD` cân tại $C$
`=>DC=AC`
$\\$
Vẽ điểm $F$ sao cho $M$ là trung điểm $DF$
Vì $M$ là trung điểm $AB$ (gt)
`=>ADBF` là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
`=>DB=AF;DB`//$AF$`=>DH`//$FA$
$\\$
Xét $∆AEF$ có $DH$//$FA$
`=>{DH}/{FA}={EH}/{EA}` (hệ quả định lý Talet)
`=>{DH}/{DB}={EH}/{EA}` (vì $DB=FA$)
$\\$
Vì `{DH}/{DB}={HC}/{AC}` (câu $a$)
`=>{EH}/{EA}={HC}/{AC}`
`=>HC.EA=EH.AC`
`=>HC.EA=EH.DC` (vì $DC=AC$)
`=>1/ 2 HC.EA=1/ 2 EH.DC`
`=>S_{∆AEC}=S_{∆DEC}` (đpcm)
