a) Xét ΔABD và ΔHBI có:
∠BAD=∠BHI (=$90^{o}$ )
∠ABD=∠HBI (BD là p/g ∠ABC)
⇒ ΔABD~ΔHBI (g-g)
b) Áp dụng định lí pitago vào ΔABC vuông tại A
⇒$AC^{2}$ $=BC^{2}$ $-AB^{2}$ $=25^{2}$ $-15^{2}$ = 400 ⇒AC=20 (cm)
Vì BD là p/g ∠ABC
⇒$\frac{AB}{BC}$= $\frac{AD}{Dc}$ ⇒$\frac{AB}{BC}$= $\frac{AD}{AC-AD}$
⇒$\frac{15}{25}$ =$\frac{AD}{20-AD}$
⇒15(20-AD)=25AD
⇒300-15AD=25AD
⇒40AD =300
⇒AD= $\frac{15}{2}$ (cm)
Có: DC=AC-AD=20-$\frac{15}{2}$= $\frac{25}{2}$ (cm)
c) Xét ΔDAB và ΔDKC có:
∠BAD=∠DKC (=$90^{o}$ )
∠BDA=∠KDC (đối đỉnh)
⇒ ΔDAB~ΔDKC (g-g)
⇒∠DCK=∠ABD (2 góc tương ứng)
mà ∠ABD=∠CBD (BD là p/g ∠ABC)
⇒∠DCK=∠CBD (1)
Vì ΔDAB~ΔDKC (cmt)
⇒ $\frac{DA}{DB}$= $\frac{DK}{DC}$
Xét ΔADK và ΔBDC có:
∠ADK=∠BDC (đối đỉnh)
$\frac{DA}{DB}$= $\frac{DK}{DC}$ (cmt)
⇒ ΔADK~ ΔBDC (c-g-c)
⇒∠DAK=∠ CBD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∠DCK=∠DAK
⇒ ΔACK cân tại K
Có: KP là đường cao ⇒Đồng thời KP là đường trung tuyến ⇒PA=PC
Xét ΔABC có:
QB=QC
PA=PC
⇒ PQ là đường trung bình của ΔABC
⇒PQ//AB (3)
mà KP//AB (cùng ⊥AC) (4)
Từ (3) và (4), suy ra: PQ ≡KP
Hay K, P, Q thẳng hàng (đpcm)
@thuyylinhh20042007
