a) Xét ΔABD và ΔHBI có:
∠BAD=∠BHI=$90^{o}$ (giả thiết)
∠ABD=∠HBI (vì BD là phân giác ∠B)
⇒ΔABD đồng dạng ΔHBI (g-g)
b) Xét ΔAHB và ΔCHA có:
∠BHA=∠CHA=$90^{o}$ (giả thiết)
∠BAH=∠ACH (vì cùng phụ với ∠HAC)
⇒ΔAHB đồng dạng ΔCHA (g-g)
⇒$\frac{AH}{HC}$=$\frac{HB}{AH}$
⇒AH²=HB.HC
Ta có: HC=BC-BH=25-9=16 cm
⇒AH²=9.16=144
AH=√144=12 cm
ΔAHB⊥H có:
AB²=BH²+AH²(Áp dụng định lí Py-ta-go)
⇒AB²=9²+12²=225
⇒AB=√225=15 cm
c)ΔABD đồng dạng ΔHBI
⇒∠BIH=∠ADI
mà ∠BIH=∠AID
⇒∠AID=∠ADI
⇒ΔAID cân tại A
Xét ΔABC và ΔHBA có:
∠BAC=∠BHA=$90^{o}$ (giả thiết)
∠B là góc chung
⇒ΔABC đồng dạng ΔHBA (g-g)
⇒$\frac{AB}{HB}$=$\frac{BC}{AB}$ (1)
ΔABC có:
BD là phân giác ∠B
⇒$\frac{AD}{DC}$=$\frac{BC}{AB}$ (2)
ΔABH có:
BI là phân giác ∠B
⇒$\frac{AB}{HB}$=$\frac{AI}{IH}$ (3)
Từ (1),(2) và (3) ⇒$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AI}{IH}$
⇒AD.AI=DC.IH
mà AI=AD (vì ΔAID cân tại A)
⇒AD.AD=DC.IH
⇒AD²=DC.IH (đpcm)
