a) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $ABC$ ta có:
$BC^2=AB^2+AC^2=12^2+16^2=400$
$\Rightarrow BC=20$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $BCE$ ta có:
$AB^2=EA.AC\Rightarrow EA=\dfrac{AB^2}{AC}=\dfrac{12^2}{16}=9$
$\Rightarrow EC=EA+AC=9+16=25$
Áp dụng định lý pitago vào $\Delta$ vuông $BCE$ ta có:
$EB^2=EC^2-BC^2=25^2-20^2=225$
$\Rightarrow EB=15$
b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $BCE$ ta có:
$\tan\widehat{BEC}=\dfrac{BC}{EB}=\dfrac{20}{15}$
$\Rightarrow \widehat{BEC}=53,13^o$
Theo tính chất tổng các góc trong một tam giác
$ \widehat{BCE}=90^o-\widehat{BEC}=90^o-53,13=36,87^o$
c) Ta có: $\widehat{CHB}$ và $\widehat{CAB}$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc $90^o$
Do đó $AHBC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
$\Rightarrow \widehat{AHC}=\widehat{ABC}$ (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{BEA}$ (cùng phụ với $\widehat{ABE}$)
$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{FEC}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AHC}=\widehat{FEC}$
Xét $\Delta CEF$ và $\Delta CHA$ có:
$\widehat C$ chung
$\widehat{AHC}=\widehat{FEC}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow $$\Delta CEF$ đồng dạng $\Delta CHA$ (đpcm).
