Giả thiết:
$\Delta ABC\bot A,AB<AC$
$D\in AC,DH\bot BC,DH=BH$
Kết luận:
$AH$ là tia phân giác của $\widehat A$
Bài làm:
Dựng $HF\bot AH,F\in AC$
$\Rightarrow \widehat{H_1}+\widehat{H_2}=90^o$
$\widehat{H_3}+\widehat{H_2}=90^o$
$\Rightarrow \widehat{H_1}=\widehat{H_3} $ (do cùng cộng với $\widehat{H_2}$ bằng 90^o)
Ta có: $\Delta ABC:\widehat{ABH}+\widehat C=90^o$
$\Delta DHC:\widehat{HDF}+\widehat C=90^o$
$\Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{HDF}$ (do cùng cộng với $\widehat C$ bằng 90^o)
Xét $\Delta HBA$ và $\Delta HDF$ có:
$\widehat{H_1}=\widehat{H_3}$ (cmt)
$HB=HD$ (giả thiết)
$\widehat{ABH}=\widehat{HDF}$ (cmt)
$\Rightarrow \Delta HBA=\Delta HDF$ (g.c.g)
$\Rightarrow AH=FH\Rightarrow \Delta AHF$ vuông cân đỉnh A
$\Rightarrow \widehat{HAF}=\dfrac{180^o-\widehat{AHF}}{2}=\dfrac{180^o-90^o}{2}=45^o$
Do $\widehat {BAC}=90^o\Rightarrow\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=45^o$
$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{HAC}$
$\Rightarrow AH$ là tia phân giác của $\widehat A$
