a)Xét tứ giác $ADHE$ có
$\widehat{A}= 90^\circ\quad (gt)$
$\widehat{D}= 90^\circ\quad (HD\perp AC)$
$\widehat{E}= 90^\circ\quad (HE\perp AB)$
Do đó $ADHE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow DE = AH$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow AM =\dfrac12BC$
Với $M$ là điểm di động, ta có:
$AH \leqslant AM$ (mối quan hệ đường vuông góc - đường xiêng)
Do đó: $AH$ lớn nhất khi và chỉ khi $AH = AM =\dfrac12BC = a$
Hay $DE_{\max}= a$
b)
$ADHE$ lớn nhất khi và chỉ khi $AH$ dài nhất $\Leftrightarrow AH = AM\Leftrightarrow H\equiv M$
$\Leftrightarrow ABC$ vuông cân tại $A$
$\Leftrightarrow AD = AE = \dfrac12AC = \dfrac12\left(\dfrac{BC}{\sqrt2}\right) = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
Khi đó:
$\max\ S_{ADHE}= AD.AE = \left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2 = \dfrac{a^2}{2}\ \ \ (đvdt)$
