Giải:
Hình bạn tự vẽ nhé.
a) Ta có: tam giác ABC vuông tại A (gt)
=> BC là cạnh dài nhất (vì BC là cạnh huyền)
Lại có: góc ABC + góc ACB = 90 độ (định lí)
=> Góc ABC = 90 độ - góc ACB = 90 độ - 40 độ = 50 độ
Vì góc ABC > góc ACB (50 độ > 40 độ)
=> AC > AB (định lí)
Vậy AB < AC < BC.
b)Ta có: tam giác ABC vuông tại A (gt)
DH _|_ BC tại H (gt)
=> Góc BAC = 90 độ ; góc BHD = 90 độ => Góc BAC = góc BHD = 90 độ
Vì BD là tia phân giác của góc ABC (gt)
nên góc ABD = góc CBD hay góc góc ABD = góc DBH
Xét tam giác ABD và tam giác BDH có:
Góc ABD = góc DBH (chứng minh trên)
BD là cạnh chung
Góc BAC = góc BHD = 90 độ (chứng minh trên)
=> Tam giác ABD = tam giác HBD (cạnh huyền - góc nhọn)
=> AD = DH (2 cạnh tương ứng)
Vậy ta có đpcm.
c) Gọi giao điểm của BD và CK là M
Ta có: CA _|_ BK tại A => Góc CAK = 90 độ
CDH = 90 độ (vì DH _|_ BC tại H)
=> Góc CAK = góc CDH
Xét tam giác ADK và tam giác CDH có:
Góc CAK = goác CDH (chứng minh trên)
AD = DH (chứng minh trên)
Góc ADK = góc CDH (2 góc đối đỉnh)
=> Tam giác ADK = tam giác HDC (g.c.g)
=> Góc DCH = góc AKD (2 góc tương ứng) (1)
DK = CD (2 cạnh tương ứng)
=> Tam giác CDK cân tại D (dấu hiệu nhận biết)
=> Góc CKD = góc DCK (định lí) (2)
Từ (1), (2) => Góc DCH + góc DCK = góc AKD + góc CKD
=> góc HCK = góc AKC
=> góc BCK = góc BKC
=> Tam giác BCK cân tại B (dấu hiệu nhận biết)
=> BK = AC (định lí)
Xét tam giác BKM và tam giác BCM có:
BK = AC (chứng minh trên)
Góc KBM = góc CBM (vì BD là tia phân giác góc B)
BM là cạnh chung
=> Tam giác BKM = tam giác BCM (c.g.c)
=> Góc BMK = goác BMC (2 góc tương ứng)
Lại có: góc BMK + góc BMC = 180 độ
=> Góc BMK = góc BMC = 180 độ : 2 = 90 độ
=> BD _|_ CK (đpcm)
