Ta có:
$\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{3}{4}$
⇒ $AH = \dfrac{3}{4}AD$
mà $AD = \dfrac{BC}{2}$
nên $AH = \dfrac{3}{4}.\dfrac{BC}{2} = \dfrac{3}{4}.\dfrac{32}{2} = 12 \, cm$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔAHD$ vuông tại $H$ ta được:
$AD^{2} = AH^{2} + HD^{2}$
⇒ $HD = \sqrt{AD^{2} - AH^{2}} = \sqrt{16^{2} - 12^{2}} = 4\sqrt{7} \, cm$
⇒ $S_{ΔAHD} = \dfrac{1}{2}AH.HD = \dfrac{1}{2}.12.4\sqrt{7} = 24\sqrt{7} \, cm^{2}$
Ta có: $BH = BD - HD = 16 - 4\sqrt{7} \, cm$
$CH = BD + BH = 16 + 4\sqrt{7} \, cm$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ ta được:
$AB^{2} = BH.BC$
$AC^{2} = CH.BC$
⇒ $\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = \dfrac{BH}{CH}$
⇒ $\dfrac{AB}{AC} = \sqrt{\dfrac{BH}{CH}} = \sqrt{\dfrac{16 - 4\sqrt{7}}{16 + 4\sqrt{7}}} = \dfrac{\sqrt{92 - 32\sqrt{7}}}{3}$
