Đáp án:
a)
Xét tứ giác $ADME$ có:
$\widehat{DAE}=90^0$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$)
$\widehat{ADM}=90^0$ (do $DM\bot AB$)
$\widehat{MEA}=90^0$ (do $ME\bot AC$)
$\Rightarrow $ tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật
b)
Xét $\triangle ABC$ có:
$M$ là trung điểm của $BC$
$DM//AC$ (do $ADME$ là hình chữ nhật)
$\Rightarrow D$ là trung điểm của $AB$
$\Rightarrow AD=DB=\dfrac{1}{2}AB$
mà $AD=ME$ (do tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật)
$\Rightarrow DB=ME$
Xét tứ giác $DBME$ có:
$DB=ME$ (cmt)
$DB//ME$ (do $ADME$ là hình chữ nhật)
$\Rightarrow$ tứ giác $ DBME$ là hình bình hành
c)
Ta có:
$N$ là điểm đối xứng với $E$ qua $M$
$\Rightarrow MN=ME=\dfrac{1}{2}NE$
$AD=DB=\dfrac{1}{2}AB$ (cmt)
mà $AD=ME$ (do $ADME$ là hình chữ nhật)
$\Rightarrow AB=NE$
Xét tứ giác $ABNE$ có:
$AB=NE$ (cmt)
$AB//NE$ (do $ADME$ là hình chữ nhật)
$\Rightarrow$ tứ giác $ABNE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow O$ là trung điểm của $AN$ và $BE$
Xét $\triangle BKE$ vuông tại $K$ có
$O$ là trung điểm của $BE$
$\Rightarrow OK=OB=OE=\dfrac{1}{2}BE$
mà $AN=BE$ (do tứ giác $ABNE$ là hình chữ nhật)
$\Rightarrow OK=\dfrac{1}{2}AN$
Xét $\triangle ANK$ có
$OK=\dfrac{1}{2}AN$
$O$ là trung điểm của $AN$ (cmt)
$\Rightarrow \triangle ANK$ vuông tại $K$
hay $AK\bot KN\Rightarrow đpcm$
