Cho tam giác ABC vuông tại A dg cao AH . từ H kẻ Hx vuông góc vs AB tại P và Hy vuông góc vs AC tại Q . Trên các tia Hx,Hy lần lượt lấy D và E sao cho PH=PD,QH=QE .Chứng minh a, A là trung điểm của DE b, PQ=1/2 DE c, PQ= AH
a)Ta có : CA vuông góc AB(gt) và HP vuông góc AB(gt) => CA /HP => góc PHA=góc HAQ(so le trong). Xét tam giác vuông AHP và tam gióc vuông HAQ có: Cạnh HA chung góc PHA=góc HAQ(cmt) Do đó: tam giác AHP=tam giác HAQ(cqnh huyền-góc nhọc). => HP=AQ(hơi cạnh tương ứng) và AP=HQ(hai cạnh tương ứng). Ta có : PH=PD(gt) và PH=AQ(cmt) nên PD=AQ QH=QE(gt) và HQ=AP(cmt) nên QE=AP Xét hai tam giác vuông DPA và tam giác vuông AQE có: PD=AQ(cmt) QE=AP(cmt) Do đó:tam giác DPA=tam giác AQE(hai cạnh góc vuông) =>AD=AE(hai cạnh tương ứng) hay A là trung điểm của DE> b) Trong tam giác HDE có : P là trung điểm DH và Q là trung điểm HE => PQ là đường trung bình => PQ=1/2DE. c)Tam giác HDE có PQ là đường trung bình => PQ=1/2DE=DA (1). Trong tam giác ADH có AP là trung tuyến(PD=PH) đồng thời AP là đường cao=>Tam giác ADH cân=>AD=AH (2). Từ (1) và (2), suy ra PQ=AH.